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Change the Product, Keep the Parameters：结合代数 Transformer 层精读

论文：Change the Product, Keep the Parameters: Associative Algebra Layers for Transformers
作者：Ilya Koziev、Ivan Oseledets
版本：arXiv:2609.32814v1，提交于 2026-09-26；本次研读于 2026-10-19。
文件：原文 PDF · 英文汇报 PDF · 可编辑 Beamer

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这篇论文把线性层的“乘法规则”本身当作架构设计变量：保留全部可学习权重块，却只计算固定规则允许的部分激活—权重交互。作者选择满足结合律、具有单位元的代数，使受限线性映射仍能在复合时保持同一结构，并用双线性秩给出所选乘法的精确成本下界。

最容易混淆的三层结果是：

层次	研究对象	得到的结论
数学构造	直接图代数 $\mathcal Q_q$	标量双线性秩恰为 $2q^2-q$；固定物理块大小、随矩阵规模增加组数时，新乘法的计算量为二次阶
GPU 内核	合成 BF16 张量，采用公开 Transformer 的层尺寸	许多形状能加速；最优组数依赖尺寸；部分小专家层在前向加反向时变慢
语言模型	两个 110.6M 模型，仅 FFN 使用不同乘法	递归代数 $\mathcal Q_2^{\otimes2}$ 带来 6.2%–7.8% 生成吞吐提升，同时三项下游指标下降

论文的主要价值是给出一种可严格计数、可实现、可训练的稀疏交互架构。实验展示了速度与质量的取舍，尚未建立等质量下的效率优势。尤其要区分：大组数直接代数的内核加速，与小模型递归代数的语言能力结果，来自两套不同实验。（Secs. 3、5、7、9，PDF pp. 3–9）

结构地图

下文页码均为从 1 开始的 PDF 页码；本篇与正文印刷页码一致。

原文章节	作用	PDF 页码与关键定位
1 Introduction	用两组特征说明为什么改变乘法	pp. 1–2，Eqs. (1)–(4)
2 Products as Architectural Choices	乘法表、双线性秩及 Alder–Strassen 下界	p. 3，Eqs. (5)–(8)
3 Graph Products with Exact Cost	图代数及精确秩	pp. 3–4，Theorem 3.2
4 Transformer Projections	位置类型、矩形投影、参数覆盖	pp. 4–5，Eqs. (16)–(21)
5 Scaling and Practical Implementation	二次计算量、有限形状约束、内核调度	pp. 5–6，Eqs. (22)–(26)
6 Training and Inference	反向、因果性及 KV 缓存	pp. 6–7，Algorithm 1、Eq. (29)
7 Experiments	内核测试与小规模预训练	pp. 7–8；Tables 1–2 在 p. 8，Table 3 在 p. 9
8 Related Work；9 Discussion and Limitations；10 Conclusion	方法定位、证据边界与结论	p. 9
A Direct Associativity Check；B Vector–Jacobian Products；C The Tensor-Square Candidate	结合律、梯度与递归构造	pp. 12–13
D Experimental Details	模型配置、损失曲线、吞吐与评测	pp. 13–15，Fig. 1、Tables 4–8
E Kernel Benchmark Details；F Larger Pure Products	完整 FFN、反向、大尺寸实验	pp. 15–18，Tables 9–13
G Attention Extension and Detailed Cost Accounting	尚未纳入小模型实验的注意力扩展	pp. 17–21，Tables 14–15
H Graph-Algebra and Scaling Proofs；I Training Data Sources	理论证明、数据清单与去污染	pp. 21–24

一：动机——权重容量与每次使用的计算量能否分开？

普通线性层 $Y=XW$ 同时固定了两件事：权重有多少可学习数值，以及输入组与权重组怎样相乘。传统快速矩阵乘法主要改变计算同一结果的算法。例如，Strassen 将普通 $2\times2$ 块乘法的八个常规乘积降为七个。

作者提出：隐藏表示和相邻层本来就要联合学习，是否可以选择一个更便宜的乘法，再从头训练模型适应它？由此得到的输出一般不同于 $XW$，因此它应理解为一个新线性层族。参数数量可以保持不变，但每个位置允许的信息流会改变。

相较于通过低秩分解、Tensor Train 等方式压缩权重存储，本文把限制放在固定交互表上；相较于内容驱动的专家路由，本文按位置决定使用哪些块。这也解释了为何“保留参数”与“保留原模型功能”是两个不同命题。（Secs. 1、2、8，PDF pp. 1–3、9）

二：方法——从六个乘积到因果 Transformer

2.1 最小例子：删除交互，保留权重块

把输入和权重写成兼容的块矩阵：

$$ X=\begin{bmatrix}A&U\\V&D\end{bmatrix},\qquad W=\begin{bmatrix}W_a&W_u\\W_v&W_d\end{bmatrix}. $$

新乘法定义为

$$ X\star_2W= \begin{bmatrix} AW_a&AW_u+UW_d\\ VW_a+DW_v&DW_d \end{bmatrix}. $$

普通乘法还包含左上角的 $UW_v$ 和右下角的 $VW_u$；新规则直接省掉这两个 GEMM。因此块乘积从八个变为六个。$W_u,W_v$ 仍在其他项中出现，四个权重块都独立学习。

这里的两行展示两种位置类型，并非把两个 token 混起来计算：第一类 token 提供 $(A,U)$，只产生第一行；第二类提供 $(V,D)$，只产生第二行。特征混合发生在单个 token 内。（Sec. 1，PDF pp. 1–2，Eqs. (1)–(3)）

2.2 为什么要结合律和单位元？

一般乘法表可以写成

$$ [\mu_{\mathcal A}(x,w)]_k=\sum_{i,j}c_{ij}^{k}x_iw_j. $$

$c_{ij}^{k}$ 是架构固定的系数，决定交互的存在及其输出位置；$w$ 才是学习的权重。定义 $\Phi_w(x)=\mu_{\mathcal A}(x,w)$，结合律给出

$$ \Phi_{w_2}\circ\Phi_{w_1}=\Phi_{\mu_{\mathcal A}(w_1,w_2)}. $$

因此，兼容的纯线性映射复合后仍属于同一族。单位元 $1_{\mathcal A}$ 则满足 $\Phi_{1_{\mathcal A}}(x)=x$ 和 $\Phi_w(1_{\mathcal A})=w$，保证完整代数表示中的权重没有永远不起作用的槽位。到了 Transformer，要把不同位置类型联合起来，才能覆盖完整权重库。

这两个性质提供结构保证。包含门控、激活和注意力的整个网络，不能用上述线性复合公式直接折叠为一层。（Sec. 2.1，PDF p. 3，Eqs. (5)–(6)）

2.3 图代数：只允许端点与边的乘法

给无自环有向图 $G=(V,E)$ 的每个顶点一个基元 $e_i$，每条边一个基元 $a_{ij}$。仅以下基元乘法非零：

$$ e_i e_i=e_i,\qquad e_i a_{ij}=a_{ij},\qquad a_{ij}e_j=a_{ij}. $$

任意边乘边都为零。对应的坐标公式是

$$ [\mu_{\mathcal Q_G}(x,w)]_i=x_iw_i,\qquad [\mu_{\mathcal Q_G}(x,w)]_{ij}=x_iw_{ij}+x_{ij}w_j. $$

直觉是：一条非对角交互可由起点的输入作用于边权，也可由边输入作用于终点权重，但不能串联两条边。边空间 $J$ 因而满足 $J^2=0$；去掉边后剩下独立的顶点乘法，$\mathcal Q_G/J\cong\mathbb F^{|V|}$。

结合律的证明可按三个因子的边数分类：含至少两条边时，两种括号都为零；恰一条边时，只有其相邻顶点匹配端点才能保留；没有边时只需三个顶点一致。双线性把基元结论扩展到整个空间。（Sec. 3.1，PDF pp. 3–4；App. H.1，pp. 21–22）

2.4 “秩最优”具体最优在哪里？

双线性秩 $R(\mathcal A)$ 计数精确双线性算法所需的最少标量乘法。Alder–Strassen 下界是

$$ R(\mathcal A)\ge 2\dim\mathcal A-t(\mathcal A), $$

其中 $t$ 是极大双边理想的个数。图代数的维数为 $|V|+|E|$，且 $t=|V|$，故

$$ R(\mathcal Q_G)\ge |V|+2|E|. $$

显式公式恰好用每个顶点一次、每条边两次乘法，所以上下界相等。完全有向图有 $q(q-1)$ 条边，得到

$$ \dim\mathcal Q_q=q^2,\qquad R(\mathcal Q_q)=2q^2-q. $$

这是给定新乘法的精确秩。$R(\mathcal Q_2)=6$ 与普通 $2\times2$ 矩阵乘法的秩 7 比较时，目标函数已经不同。把标量槽位提升为矩阵块后，六项对应六个块 GEMM；下界也不直接等于 GPU 延迟下界。（Sec. 2.2、Theorem 3.2，PDF pp. 3–4；App. H.1，p. 22）

2.5 矩形投影与位置类型

对 $X\in\mathbb F^{M\times K}$、$W\in\mathbb F^{K\times N}$，将输入分成宽度 $s_j$ 的 $q$ 组，输出分成宽度 $r_j$ 的 $q$ 组。于是 $W_{jk}\in\mathbb F^{s_j\times r_k}$。

位置 $p$ 选择固定类型 $i=\tau(p)$，计算

$$ y_i=x_iW_{ii},\qquad y_j=x_iW_{ij}+x_jW_{jj}\quad(j\ne i). $$

类型 $i$ 使用全部对角块和第 $i$ 行非对角块；不同类型共同覆盖全部 $KN$ 个参数。单个 token 的权重梯度也只到达这些活跃块。

教学解释：满秩与稠密表达能力不同。 对 $q=2$、类型 1，有效权重矩阵为

$$ T_1(W)=\begin{bmatrix}W_{11}&W_{12}\\0&W_{22}\end{bmatrix}. $$

当两个对角块可逆时，$T_1$ 可以满秩，却仍禁止 $x_2$ 对 $y_1$ 的直接影响。由此可见，本文的低双线性秩既不是低秩权重分解，也不能保证与任意稠密线性映射具有同样的函数类。（Sec. 4，PDF pp. 4–5）

2.6 直接四组与递归四组必须分开

实验训练用的是 $\mathcal Q_2^{\otimes2}$。类型及特征组由两位二进制串表示；对输入类型 $\alpha$、输出组 $\delta$，允许的中间组为

$$ \mathcal B_{\otimes}(\alpha,\delta) =\{\beta:\beta_k\in\{\alpha_k,\delta_k\},\ k=1,2\}. $$

若两端 Hamming 距离为 $h$，有 $2^h$ 个中间组。例如 $\alpha=00,\delta=11$ 时，递归规则允许 $00,01,10,11$ 四个组；直接 $\mathcal Q_4$ 只允许两个端点组。递归构造保留了部分两步交互，因此它与直接四组不是同一个代数。

乘法	槽位数	所展示算法的全表块乘积数	等宽投影 MAC 比例	精确秩信息
$\mathcal Q_2$	4	6	$3/4$	6
$\mathcal Q_4$	16	28	$7/16$	28
$\mathcal Q_2^{\otimes2}$	16	36	$9/16$	仅知在 $[28,36]$ 内

递归 $L$ 层的显式算法用 $6^L$ 次乘积，等宽投影比例为 $(3/4)^L$。因此，小模型实际 FFN 的 MAC 节省为 $1-9/16=43.75\%$，不能套用直接四组的 $56.25\%$ 节省。（Sec. 3.2，p. 4；App. C，pp. 12–13）

2.7 前向、反向与二次缩放

定义 $D_{\rm diag}=\sum_j s_jr_j$。类型 $i$ 的一行需要

$$ C_i=D_{\rm diag}+s_i(N-r_i) $$

次乘加（MAC）。第一项来自全部对角映射，第二项来自源组 $i$ 到其他输出组的交互。若 $M_i$ 行具有类型 $i$，则

$$ C_{\rm proj}^{\rm fwd}=MD_{\rm diag}+\sum_iM_i s_i(N-r_i). $$

等宽分组时，每行均有相同比例

$$ \rho_q=\frac{2q-1}{q^2},\qquad C_{\rm proj}^{\rm fwd}=\rho_qMKN. $$

反向的 $dX,dW$ 各重复前向的乘积支撑，因此三次矩阵乘法计算合计为 $3C_{\rm proj}^{\rm fwd}$。这只计算投影乘加，不包含优化器、归一化、激活和数据搬运。三个投影组成的 SwiGLU 在 $B$ 个 token 上，前向加反向从 $9BDF$ 降为 $9\rho BDF$。（Sec. 4、6.2，pp. 4、6；App. B，p. 12）

平方矩阵边长为 $n=qb$、叶块为 $b\times b$ 时，直接图代数的成本是

$$ C(n,q)=(2q^2-q)(n/q)^3 =\left(\frac2q-\frac1{q^2}\right)n^3. $$

只有固定 $b$、令 $q=n/b$ 随 $n$ 增大，才得到

$$ C(n,n/b)=2bn^2-b^2n=\Theta(n^2). $$

若固定 $q$，成本仍为三次阶。这个二次结论针对随规模改变的乘法族；同时，权重存储仍为 $n^2$，每个位置能直接使用的交互比例会下降。块值代数还满足 $R(\mathcal Q_q\otimes M_b)\ge2n^2-q$，给出同阶下界，而非普通矩阵乘法的二次算法。（Sec. 5.1，p. 5；App. H.2，p. 22）

2.8 为什么少做乘法也可能更慢？

类型专属的叶 GEMM 大约具有 $(M/q,K/q,N/q)$ 的形状。分组越细，算术量越低，但小矩阵利用率、启动开销和补齐 tile 的成本越突出。若高效叶块的最低轴长为 $(m_0,k_0,n_0)$，作者给出筛选条件

$$ q\le\min\{M/m_0,K/k_0,N/n_0\}. $$

这只是初始筛选；真实核函数可以在较小叶块上取得更优结果，仍需测量。设代数核与稠密核的有效算力比为 $\eta_q$，额外开销与稠密耗时之比为 $\delta_q$，计算主导近似下加速要求

$$ \rho_q/\eta_q+\delta_q<1. $$

实现包括一次累加两个端点乘积的融合核、先算全部对角映射再算类型专属映射的两阶段核，以及单 token 的向量归约核。每个部署模型的 $q$ 必须在训练、prefill 和 decode 中固定；可随负载改变的是 tile 和调度。（Secs. 5.2–5.3，PDF pp. 5–6）

2.9 因果性和 KV 缓存

投影只访问当前 token，$\tau(p)$ 由绝对位置确定，再配合普通三角注意力掩码，就能保持自回归因果性。训练将各类型的 token 分组批处理；解码只计算新 token 所属的类型。分块 prefill 或续写时必须保持同一绝对位置类型。

小模型仍使用稠密注意力，缓存为 $K,V\in\mathbb R^{N\times n_{kv}\times d_h}$，共 $2NH_{kv}$ 个标量。设 $D$ 为模型宽度、$F$ 为 FFN 宽度，$H_q=n_qd_h$、$H_{kv}=n_{kv}d_h$，门控 FFN 的 $g=2$，则每层单 token 的相关 MAC 为

$$ C_{\rm dec}=2DH_q+2DH_{kv}+\rho(g+1)DF+2NH_q. $$

前两项是 Q/K/V/O 投影，第三项是 FFN，最后一项是注意力分数和 value 汇聚。实验中 $H_q=H_{kv}=D,F=2D,\rho=9/16$，仅考虑该层全部投影时，代数模型成本为稠密模型的 $59/80=73.75\%$；FFN 节省 43.75% 经其他投影稀释后变成 26.25%。（Sec. 6，pp. 6–7，Eq. (29)）

2.10 附录中的注意力扩展

附录 G 还定义了结构化 $QK^\top$，但小模型实验没有使用它。把单头维度分成 $q$ 个宽度 $m$ 的组，类型为 $i,j$ 的 query–key 对只取 $F(i,j)=\{i,j\}$ 中的组；相同类型时集合只有一项：

$$ r_{pu}=\sum_{a\in F(i,j)}\langle Q_p^{(a)},K_u^{(a)}\rangle, \qquad s_{pu}=\frac{r_{pu}}{\sqrt{|F(i,j)|m}}. $$

归一化由初始化时选中坐标独立、中心化、单位方差的假设推导。随后仍做 masked softmax 与稠密 $PV$。对 $M$ 个允许的 query–key 对，其中 $M_=$ 对端点类型相同，分数计算比例为

$$ \rho_{\rm score}=\frac{2M-M_=}{qM}. $$

类型平衡的长序列趋近 $\rho_q$。由于 $PV$ 保留，注意力乘加的前向加速上限为 $2/(1+\rho_{\rm score})$；按反向重算分数的口径，训练上限为 $7/(3+4\rho_{\rm score})$。直接四组分别约为 $1.391\times,1.474\times$，递归四组为 $1.280\times,1.333\times$。

未来 query 的类型可能访问同一 key 的不同组，所以必须缓存完整 key；value 也完整保留。该扩展仍有线性增长的 KV 存储和逐 token 注意力成本。（App. G，PDF pp. 18–21，Eqs. (38)–(61)、Tables 14–15）

三：实验——分清算子、模型与比较预算

3.1 内核测试协议

算子测试使用一张 H200 NVL、合成 BF16 张量及 FP32 累加。稠密基线在校准阶段选择更快的 cuBLAS/cuBLASLt 路径；代数核校准 tile 与调度。两边都使用 CUDA Graph、预分配输出，并在独立的 12 次试验中交替执行顺序。

warm 测量重复回放相同图；cache-flushed 测量在计时之外访问 512 MiB 缓冲区后做一次回放。两者同时具有不同缓存复用和持续运行状态，不宜把差别完全归因于某一个硬件瓶颈。

初始形状覆盖五种公开 FFN 尺寸，$M\in\{1,32,512,2048\}$，$q\in\{4,8,16,32,64\}$。MoE 的 $M$ 是已经路由到某个专家的 token 数，测试不含派发、通信。扩展实验用 Qwen3-32B 的 $(K,N)=(5120,25600)$ 及其反向投影，增大 $M,q$；这些测试没有加载 Qwen/DeepSeek 的模型权重。（Sec. 7.1，p. 7；Apps. E–F，pp. 15–16）

3.2 小模型训练与数据

两个模型均为 110,631,168 个可训练参数，各训练一次。配置是 12 层 pre-norm decoder、$D=768$、32 个注意力头、$F=1536$ 的无偏置 SwiGLU、1536 上下文、GPT-2 BPE 词表 50,257 和可学习位置嵌入。只替换 FFN 的三个投影，注意力、embedding 和 LM head 保持稠密。

每个模型使用两张 H100，每卡 batch 40、100,000 步，合计 $100000\times2\times40\times1536=12.288$B token 槽位。使用 AdamW，峰值学习率 $3\times10^{-4}$，500 步 warmup，余弦降至峰值的 10%，weight decay 0.1，$\beta=(0.9,0.95)$，梯度范数裁剪 1.0。前后向 BF16 autocast，参数 FP32 存储。（Table 4、App. D.1，p. 13）

数据是公开指令数据混合，将 prompt 和 response 拼接后从头训练。来源包括 ReFusion、UltraData-SFT-2605、LaMini、代码、数学、俄语与指令遵循数据。清单统计的是导入记录数，不能直接当作最终 token 采样比例。作者按精确 query–response 对去重，再通过 3 字符 shingles 的 Jaccard 相似度、MinHash/LSH 候选和精确复查去除基准近重复，阈值为 0.80；代码样本还将回答片段与 MBPP 参考解比较。（App. I，pp. 23–24）

实际类型安排也与理论示例不同：训练实现对零起点位置使用

$$ \tau(p)=\left\lfloor\frac{p\bmod768}{192}\right\rfloor, $$

即每连续 192 个位置属于同一类型，四种类型周期为 768。内核微基准采用循环类型。递归等宽投影的 $9/16$ 乘加比例与类型频率无关，但位置依赖和各块的使用频率仍会影响训练行为。（App. D.5，p. 15）

3.3 吞吐与下游评测分别如何测量？

吞吐覆盖 Code、Math、QA、WMT 俄英翻译，每域 100 个独立 prompt；temperature 0.8、top-p 0.95、top-k 50、最多生成 256 tokens。每模型每域运行四次，剔除首次 warmup，对剩余三次取均值并以 Student t 分布给出 95% 置信区间。吞吐包括分词与采样。

下游评测则使用 lm-eval-harness 0.4.9.1，batch 1、BF16、最多生成 512 tokens；GSM8K 为 5-shot，MBPP 与 IFEval 为 zero-shot。GSM8K 衡量答案 exact match；MBPP pass@1 衡量单个生成程序通过测试的比例；IFEval 衡量可验证指令的满足情况，其层级标注问题见下节。下游结果越高越好。（Sec. 7.2，p. 8；Apps. D.2–D.4，p. 14）

四：结果——算术收益何时变成实际收益？

4.1 纯投影：形状越大，通常越能利用细分

下表为主文 Table 1 的选定组数结果。$q_*$ 是测试网格中 warm 延迟最低的候选，速度比为“稠密耗时 / 代数耗时”。

形状	$M$	$q_*$	稠密 / 代数，μs	warm / flushed 加速
Qwen3-1.7B	2048	32	75.7 / 24.9	3.04× / 2.84×
Qwen3-4B	2048	32	160.6 / 51.1	3.14× / 2.94×
Qwen3-8B	2048	32	320.7 / 63.6	5.04× / 4.52×
Qwen3-30B-A3B 单专家	2048	16	13.2 / 8.4	1.57× / 1.30×
DeepSeek-V3 单专家	2048	16	82.3 / 28.3	2.91× / 2.47×
Qwen3-32B	2048	32	849.2 / 167.8	5.06× / 4.86×
Qwen3-32B	8192	128	3337.4 / 400.7	8.33× / 8.60×
Qwen3-32B	32768	256	13458.6 / 1169.4	11.51× / 11.70×

最后一行的 $q=256$ 是网格上界；不能由此确定更大 $q$ 的表现。它们是不同乘法的纯投影耗时，不能解读为把现有 Qwen3-32B 无损替换后整体加速 11.51 倍。（Table 1，PDF p. 8）

扩展网格直接显示“组数更多”未必更快。以下是 $5120\to25600$ 投影的代数核 warm 耗时，单位 ms：

$q$	$M=2048$	$M=8192$	$M=32768$
32	0.168	0.583	2.335
64	0.232	0.523	2.055
128	0.248	0.401	1.558
256	0.266	0.414	1.169

反向形状 $25600\to5120$ 在三个 $M$ 上均以 $q=64$ 最快，分别为 0.147、0.396、1.519 ms。投影方向也影响最佳细分。选择一个具体模型架构时，不能把这些按负载分别选出的 $q$ 同时当作其运行时收益。（Table 12，p. 17）

4.2 完整 SwiGLU 与反向：一个重要失败案例

固定 $q=32$ 时，双方合并 gate/up 并使用同样的激活核。完整 SwiGLU 前向的 warm 加速与单个投影的训练加速如下：

形状	完整 FFN 前向，$M=1$	完整 FFN 前向，$M=2048$	投影前向+$dX$+$dW$，up / down，$M=2048$
Qwen3-1.7B	3.45×	2.55×	1.27× / 1.76×
Qwen3-4B	4.74×	2.78×	1.33× / 1.66×
Qwen3-8B	6.64×	4.17×	1.96× / 2.56×
Qwen3-30B-A3B 单专家	1.71×	1.74×	0.65× / 0.57×
DeepSeek-V3 单专家	3.94×	3.74×	1.79× / 1.35×

小型 Qwen 专家的 up 从 40.0 μs 增至 61.4 μs，down 从 38.5 μs 增至 67.6 μs。尽管理论上前向和两个梯度都节省乘加，实际 backward 实现仍可能抵消收益。此处梯度核使用固定 tile，仅前向做了调优。$M=1$ 的 warm 回放还重复同一类型，其完整序列行为需要实际解码测量。（Tables 9–10，p. 16；App. E，p. 15）

固定 $q=32$ 的纯扩展投影另在 Table 11（p. 17）报告。例如 Qwen3-8B 的 $M=1$ 为 7.07× / 4.14×（warm / flushed）；这进一步显示缓存复用会显著改变小批量收益。

4.3 固定叶块：二次算术具有有限尺寸的计时证据

$n$	$q=n/128$	稠密 ms（$b=128$ 对照）	代数 ms，$b=128$	代数 ms，$b=256$	$b=128$ warm 加速
4096	32	0.210	0.044	0.058	4.81×
8192	64	1.773	0.166	0.225	10.69×
16384	128	13.881	0.689	0.991	20.15×
32768	256	114.265	2.868	5.344	39.85×

速度比保留原表报告值；表中延迟已四舍五入，直接相除可能略有不同。$b=256$ 的稠密对照在原表中独立测量，不能用本表的 $b=128$ 对照重新计算它的速度比。

根据原表 13 重绘：固定叶块的平方乘法耗时

根据原文 Table 13（PDF p. 18）重绘。横纵轴均采用对数刻度；灰线是 $b=128$ 试验对应的稠密对照，绿线、橙线分别是叶块为 128、256 的代数乘法。曲线斜率展示随尺寸增长的耗时趋势。

在这四个尺寸上，$b=128$ 代数耗时的端点 log–log 斜率约为 2.01，符合二次增长趋势。这是合成平方乘法的有限尺寸证据；由于 $q$ 随 $n$ 增大，不能推出语言模型保持质量时也具有同样缩放。（App. F，pp. 16–18，Table 13）

4.4 语言模型损失：可收敛，但损失差距持续存在

原图 1：两个模型的 evaluation loss

来源：原文 Fig. 1，PDF p. 13，使用作者原始图件。横轴为训练步数，纵轴为 evaluation loss；蓝实线是稠密基线，红虚线是代数模型。

两条曲线均持续下降，说明递归层能按该配方训练；代数模型在图示过程中一直具有更高损失。末端从图上约读为 0.80 与 0.88，属于视觉近似值，论文没有在表中提供相应精确终值。该差距与下游任务退化的方向一致。

4.5 端到端生成吞吐：约 7%，且输出长度不同

领域	稠密 tok/s，均值±95% CI 半宽	代数 tok/s，均值±95% CI 半宽	相对增益
Code	987.8 ± 1.0	1054.5 ± 2.2	6.8%
Math	991.4 ± 5.0	1060.6 ± 3.8	7.0%
QA	958.6 ± 11.0	1033.1 ± 3.5	7.8%
WMT ru–en	985.9 ± 5.2	1047.1 ± 2.6	6.2%

原文报告四域吞吐比的非加权均值为 1.070；按表中吞吐均值复算约为 1.0693，即平均提升约 6.93%。这里存在轻微数字差异，两者均支持“约 7%”的表述。置信区间来自每个已训练模型的三次计时，不是独立训练模型之间的变化范围。（Table 2，p. 8；Tables 5–7，pp. 14–15）

两个模型并未生成相同长度：Code 平均 195.5→182.4 tokens，Math 223.8→227.8，QA 92.6→110.8，翻译 190.0→204.9。因而表格描述真实生成负载的结果。若要单独估计层替换造成的延迟变化，需要固定长度、重复整模型计时。

FFN 算术节省 43.75%，整层投影只节省 26.25%，再加上注意力、LM head、访存、分词和采样，约 7% 的最终吞吐增益与这些额外成本相容；不能把 43.75% 直接当作整模型加速幅度。（Sec. 6.3、9，pp. 7、9）

4.6 下游质量：三项均下降，IFEval 名称存在冲突

下表以百分数表示，$\pm$ 为任务评测标准误（SE），不是 95% 置信区间。差值为“代数−稠密”，单位是百分点。

任务及指标	稠密	代数	差值
GSM8K，flexible-extract EM	3.18 ± 0.48	2.20 ± 0.40	−0.98
MBPP，pass@1	6.60 ± 1.11	3.80 ± 0.86	−2.80
IFEval，loose accuracy，按附录数值	34.53	31.06	−3.47

来源：Table 8，PDF p. 15。附录给出的未舍入 IFEval 输出为 0.345324 和 0.310552，差约 −3.4772 个百分点；主文 Table 3（p. 9）把得分舍入为 34.5 与 31.1，文字据此写差 3.4 个百分点。

v1 的指标名称不一致：主文 Table 3 写 “Instance, loose”，附录 Table 8 写 “Instruction-level loose accuracy”。实例级与指令级的统计单位不同，不能将二者等同。本笔记保留附录数值及其标签，同时标出这一歧义；仅凭论文无法确认实际评测键。两处数值都支持代数模型较低这一方向结论。

模型仅各训练一次，任务标准误不能衡量训练随机性的波动。这一小规模结果最直接支持“可训练且生成更快，但质量有代价”，不支持等质量或等训练时间下更优。（Secs. 7.2、9，pp. 8–9；App. D.4，pp. 14–15）

五：结论与研究启发

本文将“参数库存”与“单次计算的交互密度”分开，并把这种选择纳入可证明的代数结构。直接图代数有精确秩和清楚的缩放公式；位置类型把完整代数落到逐 token 的矩形投影上，解决了因果性与缓存的一致性问题；内核实验则展示算术优势如何受形状和反向实现制约。

最值得保留的机制理解是：省计算来自改变每个位置可以使用的特征交互，参数数目保持不变并不能抵消这一限制。 递归构造保留更多交互，却比直接四组贵；大组数虽然能大幅降低计算，但非对角块被某类位置使用的频率也更低。现有模型证据显示了这一设计的成本，而不是绕过了成本。

以下是本次分析提出的后续实验，尚不是论文结果：

在相同模型、数据和训练预算下直接比较 $\mathcal Q_4$ 与 $\mathcal Q_2^{\otimes2}$，衡量额外八个全表块乘积换回了多少质量。
固定生成长度，并同时报告全模型延迟、训练吞吐与任务分数，建立等质量下的成本曲线；重点检查小型专家层的反向瓶颈。
比较循环类型、192-token 分段类型及跨层类型安排，判断位置相关的权重使用模式对优化和泛化的影响。

若用于组会讨论，核心问题是：在某个实际任务的质量要求下，怎样选择交互表与组数，才能让减少的计算量超过恢复质量所需的额外训练成本？